일반상대성이론강의(1)입문-비앙키아이덴티티와 비유클리드기하학 물리학교실-특수,일반상대성이론



에전에 야후 블로그에 올렸던 글인데 이제 여기 다시 시리즈로 올려 보겠습니다.

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일반상대성이론 강의(1) 입문-비앙키 아이덴티티와 비유클리드 기하학


2002년 11월 28일 오후 3:00


안녕하십니까?철심장입니다.

이제 일반상대성이론에 대해 본격적으로 소개해볼까 합니다.

이는 아인시타인의 상대성이론에 대해 제대로 알고 있는 사람들이 거의 없어서 특히 도대체 그 어렵다는 일반상대성이론이란 어떤 것인지? 왜 그렇게 어렵다고 하는지? 직접 약간이라도 보여드림으로써 일반의 오해를 바로 잡아보자는 다소 거룩한(?)노력의 일환이라 하겠습니다..ㅋㅋ

전 시간에 특수상대성이론에 대해서 간략하면서도 중요한 포인트를 정리해 보여드렸습니다.

간단한 것 같아도 특수상대성이론의 물리문제도 직접 계산해서 푸실 수 있도록 정리해드렸습니다.


그런데 특수상대성이론은 그런대로 다룬 책이나 게시물들이 간혹 있어도 일반 상대성이론은 아마 구경도 제대로 못해봤을 것입니다. 그것은 그만큼 일반상대성이론은 어렵고 전문적인 것이라 대학원수준의 고급수학실력을 갖추지 않으면 이해하기 어려운 내용들이기 때문입니다. 실제로 물리학과에서도 대학원에 가야 가르치게 되는 과목이 바로 일반 상대성이론입니다. 학부생만해도 감히 안다고 깝쪽댈 수 없는 분야지요...ㅋㅋ

여기 일반상대성이론을 다룬 게시물들을 기대를 가지고 살펴봤는데 거의 실망스럽더군요..tensor식도 사용안하고 무슨 일반상대성이론을 논한다고 하는지 원~ 장난치는것도 아니고.....

자! 이제 기준계에 대해 운동계가 등속도운동이 아닌 가속도 운동을 하며 움직이는 경우 즉, 가속도가 0이 아닌 모든 일반적인 경우의 일반상대성이론을 살펴봅니다...


우선 가속도가 0인 제한된 경우(등속도운동)의 특수상대성이론을 완성시킨 아인쉬타인은 이번엔 가속도가 0인 아닌 모든 경우(가속도운동)에 기준계와 운동계사이에는 어떠한 역학현상의 차이가 있는지 연구에 돌입합니다. 왜냐면 그때까지 완성해놓은 특수상대성이론은 등속운동에 관한 제한적인 것이여서 이를 가속도가 있는 경우로 확장시킬 경우 여러 가지 과학적 모순이 나오게 됩니다....예를들어 쌍둥이역설이 그 대표적인 예지요..이는 상대성이론의 오류가 아니라 단지 특수상대성이론의 제한성때문이였습니다. 따라서 모든 가속도운동으로의 확장이 필요했지요...그런데...그 머리좋은 아인쉬타인도 이 연구는 십여년 넘게 걸렸습니다. 당대 최고의 수학자들의 도움까지 받아가면서 말입니다...그만큼 어렵다는 얘기입니다...
결국 일반상대성이론을 완성하고나니 쌍둥이역설도 보기좋게 풀리지요..


그런데 그 십여년간의 걸친 연구 끝에 결과를 보니 이게 웬일인가요? 이미 그 결과는 100 여년 전쯤 수학자들이 수학분야에서 완성해놓은 결과인 비유클리드 기하학과 동일한 것이였습니다...허허.... 결국 아인쉬타인의 일반 상대성이론은 100여년전 수학자들이 완성해놓은 비유클리드 기하학을 물리학적으로 해석하는 데 불과했다는 것이죠....


즉, 수학자들이 완성해놓았으나 그 수학자들 마저도 자기들이 완성해놓은 것이 무슨 뜻인지 몰랐다는 얘기며 그것을 100년만에 아인쉬타인이 해석해낸 셈입니다. 어쨌든 아인쉬타인의 공로지요..(이게 무슨 뜻인지는 강의에 가다보면 다 나옵니다..)


여기서는 주로 일반 상대성이론의 본 모습-즉 수학적 내용을 제대로 다룰 겁니다. 평생 처음보는 수학기호들과 수식이 많이 나올텐데요..그것만 봐도 재밌을 겁니다..수학에 저런 것도 있었냐는 말이 절로 나오실 겁니다.^^


우선 일반상대성이론에 대해서 수학이 아닌 말로써 요점정리를 해보면

1. 등가의 원리-가속도와 중력은 효과가 같다

2. 중력은 공간을 휘게 만들더라.

3. 질량과 속도,가속도,에너지,밀도,시간 등은 공간을 규정하며 연결되어진 개념이더라.

4. 공간이 휘어져 있으므로 좌표도 휘어진 좌표를 다루는 수학인 비유클리드기하학을

써야하더라

5. 강한 중력과 거의 무한의 밀도는 특별한 공간경계-시간이 정지된-를 만들어내

더라(슈바르츠쉴트의 반경)...^^

등등이라 할 수 있겠습니다.(와~ 너무 쉽죠잉~?^^)


공간은 시간과 속도, 가속도, 질량과 밀도 등과 상호 연관되며 특히 가속도가 있을 시 시공간은 유클리드 공간이 아니라 휘어진 비유클리드공간으로 이해되어져야 한다는 것 (이에 반해 특수상대성이론의 공간은 민코브스키 공간이라고 합니다.-여기 어떤 게시물보니 일반상대성이론의 공간이 민코브스키 공간이라고 말해놨던데....틀렸습니다..다음 강의-텐서 소개때 정확히 나옵니다)


특히 가속도와 중력은 같이 볼 수 있으며(등가의 원리) 가속도와 중력이 같으므로 중력에 의해서 빛은 휘어야 된다는 충격적인 결론이 나오고 이 결론은  2차대전 후 남아프리카천문대 등의 개기일식때 태양주변 별의 이동현상으로 관찰됨으로서 사실로 입증되 아인쉬타인은 일약 세계적인 스타가 됩니다. (연구실 책상에 가만히 앉아서 천문학자도 알아내지 못햇던 천문현상을 예언해 실제로 밝혀낸 셈이니...^^) 암튼 일반상대성이론은 이렇듯 이제까지 알지 못했던 공간의 성질에 대해서 새롭게 이해하도록 밝혀주고 있습니다.(공간의 성질...이거 중요한 표현입니다..^^)

따라서 일반 상대성이론을 이해하자면 반드시 공부해야 할 것이 있는데 바로 비유클리드 기하학과 이를 위한 고등수학입니다. 우선 ‘텐서(tensor)'라는 고등수학 연산자가 꼭 필요한데요,곡면기하때문입니다.또 리만방정식, 비앙키 항등식, 리찌텐서, 아핀코넥션 등등의 대학원수준의 수학지식이 필요하지요....따라서 고등수학을 여기서 강의할 수는 없고 다만 어떠한 것이 있는지 소개 수준에 머물러도 그런 것이있는 줄도 모르고 일반상대성이론을 무식하고 용감하게 운운하는 수준은 조금은 벗어날 수 있을 것으로 생각됩니다....

유클리드 기하학이란 공간을 네모 반듯하게 자른 깍뚝썰기 같은 직각좌표계로 연구하는 것이고 비유클리드 기하학이란 구면좌표 혹은 쌍곡좌표 등의 휘어진 좌표계로 공간을 규정하고 연구하는 것입니다. 공간이 휘어진 공간일 경우 직각좌표계는 쓸 수가 없겠지요...

가속도가 없을 시 등속도계에서는 좌표는 직각좌표만 있어도 표현가능합니다. 그러나 가속도가 있을 때에는 직각좌표계로는 도저히 표현할 수 없는 것이 생겨나죠. 따라서 좌표계 자체의 변경이 필요한 것입니다.비유클리드 기하학이 필요한 이유죠....

일단 서론은 이 정도로 하고 말나온 김에 그렇다면 아인쉬타인의 일반 상대성이론을 이루는 주요 수식들은 어떤 것이 있을까요? 오늘 시간에는 여러분들이 구경조차 못해봤던 수식들을 쬐금 맛뵈기로 소개해 보겠습니다. 우선 아인쉬타인의 중력이론의 기초가 되는 비앙키 아이덴티티(비앙키 항등식)를 소개해 보겠습니다.(이름은 들어봤나?비앙키 아이덴티티? ^^) 자세한 설명은 본 강의에서 하고...

R                  +    R                  +    R              =  0

  λμνκη;η              λμην;κ                λμκη;ν


또는


   μν              μν

(R       -  ½g R      )      = 0                로 씁니다.

   ;μ


수식 참 희안하죠? 이것이 비앙키 아이덴티티라고 하는 항등식이며 이는 아인쉬타인의 중력이론에서 근본적인 역할을 하는 수식입니다...위에 사용된 것이 바로 tensor입니다.tensor 식이라 읽기도 어려우실겁니다..ㅋㅋ 이제 여러분은 한번도 본 적없는 일반 상대성이론의 벌거벗은 적나라한 모습 ,그 누드를 보게 될 것입니다..^^



I'll  be  back.........

-.- 타오르는 보수중립 민중의 불꽃, 철타곤의 물리학성   철   심   장


덧글

  • 2013/03/26 17:52 # 삭제 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 철심장 2013/03/28 00:28 #

    퍼가는 건 환영합니다만 어디에 올리시든 출처는 밝혀주셨으면 합니다...
    건강하시고요....
  • 포실이 2013/06/17 08:13 # 삭제 답글

    정작 아인슈타인 본인과 그 옆에서 수학적인 부분을

    도왔던 마르셀 그로스만

    두 사람은 비앙키 항등식을 몰랐기 때문에 5년을

    더 헤맸대요

    원래는 착수한지 5년만에 일반상대론이 완성될 수도 있었는데..
  • 포톤 2019/07/22 11:39 # 삭제

    비앙키 항등식이 그만큼 중요한 것인데 다들 일반상대성이론을 제대로 몰라서 그런지 그만큼 강조를 하지않고 있죠.
  • qq 2019/09/02 13:27 # 삭제

    일반상대성이론 자체를 잘모르는데 어지 비앙키항등식을 알겠습니까?
  • 블링블링한 북극곰 2022/03/05 13:36 # 답글

    수학과 물리관련해서 쓰신 글들을 이해할 수 있을만큼 읽어봤는데 깊으신 고찰과 정보력에 감탄을 금치 못했습니다. 중학생때부터 물리와 수학에 흥미를 느끼며 현 대학교2학년까지 공부한 학부생인데 위의 글들을 읽으며 막막했던 수학과 물리에 다시금 흥미가 생기는듯합니다. 이런글을 무료로 봐도 되나하는 생각에 죄스럽기도하지만 부족한 점을 채우기 위해 선형대수와 벡터미적분학을 공부하고 싶은데 관련 교재나 서적 추천해주실 수 있으십니까?
  • 철심장 2022/03/24 20:55 #

    다 거기서 거기에요...선형대수학이라고 쓰인 책 아무거나 사도 거의 똑같은 내용임...
    원래 미적분을 먼저 공부하고 선형대수 들어가는건데...
    벡터미적분학이라고 별다를것 없어요.
    솔직히 그냥 수리물리공부하면 다 나옴...


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