전 편에 이어 일반 상대성이론 강의(강의라하니 거창하니 소개라고 해두죠..^^)를 계속해보겠습니다.
일반 상대성이론은 기준계에 대해 운동계가 가속도가 있는 경우를 다룬다고 소개하였고 따라서 가속도로 말미암아 휘어진 공간을 다루게 된다고 소개하였습니다.
그렇다면 이제 어떻게 휘어진 공간을 표현할 것인가? 그것은 구면좌표계나 쌍곡좌표계같은 곡면좌표를 사용하게 되는데 이때 공간이나 좌표의 휘어짐을 표현하는데 가장 긴요하게 사용되는 것이 바로 고등수학의 연산자인 'tensor'라는 것입니다.
텐서는 일반 상대성이론, 전자기학등의 분야에서 특히 중요한 연산자입니다. 물리학이외의 공학분야에서 재료공학쪽에서 가끔 사용되기도 하는데요, 이는 시료 내부의 휘어짐이나 시료의 휘어진 가공을 필요로 할때 사용됩니다.
자 이제 본격적으로 설명들어가면....^^
스칼라와 벡터는 텐서의 특별한 경우로 스칼라는 하나의 실수로 나타내고 rank가 0인 텐서입니다. 물리학적 표현으로 '좌표계의 회전에서 변하지않는 양'이라고 명명합니다.
성분이 주어진 원 점으로부터 한 점까지의 거리처럼 변하는 양은 벡터라고 부르는 셈입니다.고등학교에서 배운 스칼라와 벡터에 대한 표현과는 전혀 다르죠? 물리학적 표현입니다.^^
3차원 공간에서 벡터는 3 = 3¹ 개의 실수로 나타내고 rank가 1인 텐서입니다.
rank가 n인 텐서는 3ⁿ 개의 성분을 가지게 됩니다.
여기에서 gradient 나 divergence, 공변,반변,혼합 등의 이해가 필요하나 여기서는 생략하겠습니다.그런 것이 필요함만 알아두십시요.
Rank는 편도함수(또는 방향cosine)의 개수로 0은 스칼라, 1은 벡터, 2는 텐서입니다. 텐서는 윗첨자, 아랫첨자를 사용하여 표시되며 각 지표(윗첨자,아랫첨자)는 공간의 차원수에 따라 변하지만 지표의 개수(또는 텐서의rank)는 차원에 무관합니다.
텐서의 정의식을 올리려면 엄청난 키보드 노가다(?)가 필요해서 약식만 올리려다 그냥 다 올려드립니다....
먼저 약식으로는 요따우로 씁니다.(rank2의 경우)
ij
공변텐서 A’
i
반변텐서 B’ j
혼합텐서 C’ i j
이걸 제대로 쓰면.....
´ i j ∂ x’i ∂ x’j k l
A =Σ --- --- A
K l ∂ x k ∂ x l
´ i ∂ x’i ∂ x l k
B j =Σ --- --- B l
K l ∂ x k ∂ x´ j
´ ∂ x k ∂ x l
C i J =Σ --- --- Ck l
K l ∂ x´i ∂ x´ j
이렇게 쓰며 이는 제대로된 tensor의 정의식입니다.
(휴~ 정말 아래한글로 수식쓰기 어렵당..ㅋㅋ)
직각좌표계하면 뭐가 생각나죠? 민코브스키공간, 특수상대성이론이 생각나야죠? 그래서 특수상대성이론의 공간인 민코브스키공간은 직각좌표계인 데카르트좌표계를 사용합니다.
따라서…데카르트좌표계에서는 rank2인 텐서의 공변,반변,혼합 형태가 다 같게 되므로 첨자를 굳이 윗첨자와 아랫첨자로 나눠쓰지않고 그냥 아래첨자로 혼용합니다.
그러나 휘어진 공간을 다루는 일반상대성이론에서 비데카르트좌표계를 사용할때는 텐서의 윗첨자와 아랫첨자가 반드시 구분되어져야 합니다….(밑줄쫙~!)
그렇다면…
4차원 공간을 3차원 공간의 수학적 확장으로 해석해보면 쉽게 5차,6차 N차원 공간을 얻을 수가 있습니다. 이것은 전형적인 성분분해의 결과입니다.
이부분을 오해를 많이 하시는데 세상의 공간이 N차원이 있다는 것이 아니라 수학적으로 말하는 것입니다. 차원이란 본래 수학적 개념입니다.... 세상의 N차원 공간요? 그건 하나님만이 아시지요...우리의 존재와 인지능력밖이겠죠...
우리가 살고있는 공간이라 할 수 있는 4차원공간은 제4의 변수 t가 시간인 Minkowdki(민코브스키) 공간인데 다음과 같이 표현합니다.
(x1, x2, x3, x4 ) = (x, y, z, ict)
이것이 바로 특수상대성이론에서 이뤄지는 시공의 합병입니다.
4차원공간에서 회전을 묘사하는 변환은 특수상대성이론의 로렌쯔변환입니다.
(이제 전 시간에 민코브스키공간은 특수상대성이론의 공간이고 따라서 일반상대성이론의 공간이라고 소개한 어떤 게시물이 틀렸다고 말했는데 그 이유를 이제 아시겠죠?)
따라서 휘어진 공간을 다루는 일반 상대성이론으로 가면 직각좌표인 데카르트 좌표계에 국한하지않고 일반적인 비데카르트 좌표계를 다루게 됩니다.
오늘은 피곤하니 여기까지만 하지요..
앞으로 텐서를 사용한 수식이 거의 전부이므로 텐서에 대해 간략한 소개를 해드린 겁니다.텐서(tensor)...평생 처음보시는 분들도 많으시죠?^^
-.- 타오르는 보수중립 민중의 불꽃, 철타곤의 철 심 장
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