[철심장]일반상대성이론강의(4)-공변미분,크리스토펠기호.. 물리학교실-특수,일반상대성이론



일반상대성이론강의(4)-공변미분,크리스토펠기호

2003년 1월 27일 오후 9:07


안녕하십니까? 철심장입니다.

독자들의 숨고르기를 위해(?) 조금 쉬었던 일반상대성이론 강의를 계속하겠습니다.ㅋㅋ

 

보통 대학원에서 일반상대성이론을 공부하는 과정은 벡터나 곡선좌표계, Form()등의 고급수학의 기초과정(?)을 배운 뒤 tensor에 대해 공부하고

크리스토펠기호, 공변미분, 텐서미분연산자, 아핀코넥션 등등을 공부한 뒤 이를 바탕으로 리만 기하에 도전(?)하여 비앙키 아이덴티티나 리찌, 리만 텐서, 리만 방정식 등을  배운 뒤  이를 조합,응용하여 드디어 마당 방정식이라 불리는 아인쉬타인의 중력방정식(장 방정식)을 유도해내고 그것을 해석하는 코스로 진행됩니다. (~ 이거 엄청난게 중요한 건데걍 무료로 공개하네요,,ㅋㅋ)

 

따라서 제 강의는 이와 같은 코스로 이미 텐서에 대해 소개하였고 오늘은 크리스토펠기호, 공변미분, 텐서 미분연산자 등에 대해 소개하려 합니다.

(그냥 넘어가려고 했는데 아무래도 소개해야 될 것 같네요…)

 

이것들은 앞으로 공간의 곡률을 수학적으로 표현하는 데 쓰이며 이는 궁극적으로 아인쉬타인의 중력방정식(장방정식)을 유도해내며 이해하기 위함입니다. 따라서 잘 배워두면 다음 과정들이 아주 쉽습니다.

 

 

무한소 변위가

dr  = ε1dq(  1) + ε2 dq(   2)  +ε3 dq(   3)

로 주어질 때 기저벡터 εi

εi = r /q(    i) ….


여기서 공변계량텐서

εi∙εj = gij 를 얻습니다.



벡터의 미분으로 들어가 직접 미분한 식

        

V/q(    j) = (V(    i)/ q(    j) )εi +V(    i)(εi / q(   i ))                          -----

 

로 주어지고 여기서 ∂ εi / q(   i )는 계수가 편미분의 첨자 i,j와 기저벡터의 첨자 k에 의존하는 εk의 선형결합이 됩니다.. 따라서

 

εi / q(   j)  = Γ(     k)ij εk 

가 되는데….여기서 Γ(     k)ij Christoffel 기호(2) 또는 연결계수(coefficient of connection)라 합니다.

 

Γ(     k)ij들은 rank3인 텐서가 아니며 데카르트 좌표계에서 모든 i, j, k에 대하여 Γ(     k)ij =0 입니다

또 이 크리스토펠 기호는 아래 두 첨자에 대해 대칭이죠. ,
 

Γ(     k)ij = Γ(     k)ji  입니다..

 


christoffel기호에 의해 ①식은 다음과 같이 쓸 수 있는데요.

 

V/q(    j) = (V(    i)/ q(    j) )εi +V(    i)Γ(     k)ij εk

 

여기서 i k는 는 합해지는 첨자이므로  서로 교환하면

 

V/q(    j) = (V(    i)/ q(    j)  +V(    k)Γ(     i)kj )εi

 

가 되고 이때 괄호안의 양을 공변미분이라 하고 V(    i);j라고 씁니다. ,

 

V(    i);j = V(    i)/ q(    j)  +V(    k)Γ(     i)kj

 

데카트르좌표계(Cartesian 좌표계)에서 christoffel기호가 0이 된다고 했으므로 공변미분과 보통의 편미분은

V(    i)/ q(    j) = V(    i);j (Cartesian 좌표계) 가 되겠죠..?

 

편미분과 공변미분..이해가 가시나요?

편미분을 공변미분으로 바꾸면 물리법칙은 평평한 시공에서 일반 상대성이론의 굽은 시공으로 바뀝니다., 이와같은 치환은 아인쉬타인의 등가원리를 수학적으로 해석한 것이 됩니다.

 

또한 공변미분은  벡터미분연산자를 텐서의 형태로 이끌어내는데 사용됩니다. 이렇게해서 완전한 형태의 텐서미분연산자를 얻게 됩니다. 이러한 텐서미분연산자는 현대중력이론뿐 아니라 Lagrangian역학,Hamiltonian역학,강체 회전에 따른 오일러방정식, 유체역학등에서도 자주 사용됩니다. 자세한 설명은 생략합니다.

 

이번 강의로서 우리는 일반상대성이론의 본격적인 수식들로 들어가는 기초준비를 대부분 마쳤습니다. 이제 아인쉬타인의 중력장방정식으로가는 본격적인 행로만 남았군요..

다음에 계속됩니다.. I’ll be back……..

 
 http://dk12.egloos.com/

-.- 타오르는 보수중립 민중의 불꽃, 철타곤의 물리학성 철     











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