[철심장]일반상대성이론 중력장방정식을 유도하는 가장 간단한 방법 철심장의 과학교실-물리학,수학~



안녕하십니까? 철심장입니다.

일반상대성이론의 아인시타인의 중력장방정식을 유도하는 방법은 크게 두가지가 있죠

한가지는 아인시타인의 방법이고 하나는 힐베르트의 방법입니다.

사실 둘다 만만찮은데 엄청난 수학적 실력이 있어야 겨우 알아들을 수있 죠.

힐베르트의 방법은 소위 변분원리 방법이라고 부르며 수학적 기술로 유도하는 방법인데 아인시타인의 물리학적 방법보다 솔직히 더 쉽습니다.

(물론 수학에 정통한 사람일 경우에 말이죠.대부분의 물리학자들은 힐베르트의 방법을 더 어려워합니다. --;)


힐베르트의 방법중에서도 간단하게 정리한 방법이 있는데....

오늘 내가 소개하려는 일반상대성이론의 중력장방정식을 유도하는 가장 간단한 방법이 바로 그것이죠

?? 

일방상대성이론의 핵심을 물리학적으로 표현한다면 뭐라고해야 할까요?

'바로 라그랑지안이 곡률 R(Ricci scalar)에 비례한다'는 것입니다.

이게 유식한 물리학적 표현이죠. ^^

바로 이 사실로부터 아인시타인의 중력장방정식은 수학적으로 간단하게 유도됩니다.


우선 일반상대성이론에 나오는 라그랑지안은 세가지가 있는데

곡률로부터의 라그랑지안, 진공 상태에서의 라그랑지안, 물질로부터의 라그랑지안이 그것입니다.

우선 모든 작용은 부피에 다음과 같이 비례해야 합니다,

                                        combi ^{ 4 }{ d }xsqrt { -g }

라그랑지안 밀도에 이 부피를 곱한 것을 적분해주면 작용이 나오죠.

라그랑지안 밀도는 스칼라이므로 첨자가 없거나 축약된 첨자만 있어야 하고 공변성을 가져야 하기 때문에 리치 스칼라와 리치텐서, 리만텐서로만 이루어져야 합니다.

따라서 이렇게 곡률로부터의 라그랑지안을 구하면 


                                                          .int { combi ^{ 4 }{ d }xsqrt { -g } }R  

입니다. 여기서 g는 metric의 determinant로 Jacobian을 의미하는데 즉 이것에 마이너스를 붙여 루트 씌어 줘서 적분을 해주면 부피가 되는 것이죠.  라그랑지안이 부피에 비례하는 것이 당연하므로 이 세가지 라그랑지안 모두에   %5Csqrt%20%7B%20-g%20%7D%20가 들어갑니다.

(여기서 잠깐! %5Cleft%7C%20%5Ccombi%20_%7B%20%5Cmu%20%5Cnu%20%20%7D%7B%20g%20%7D%20%5Cright%7C%20%3Dg%20 는 계의 모든 점에서 g%3C0%20, 왜냐면 시간좌표에서 계량계수는 음수고, 공간좌표에서 계량계수는 양수이기 때문. 그런데 체적소는 양의 값이므로 %5Csqrt%20%7B%20g%20%7D%20대신에 %5Csqrt%20%7B%20-g%20%7D%20를 쓰는 것이 옳습니다.) 


진공상태에서의 라그랑지안은 부피에 비례하는 항으로


                                                             int { combi ^{ 4 }{ d }xsqrt { -g } }Lambda   

가 됩니다.

이 두가지로부터 중력장방정식의 좌변이 나옵니다.

만약 이렇게 좌변만 구해놓고 화장실가면.....그 상태에서

\delta \combi _{ G }{ S }   가 구해지고 여기서  뜻밖에  눈에 익은 식이 나옵니다. 바로


\combi _{ \mu \nu  }{ R }\quad -\quad 1/2R\combi _{ \mu \nu  }{ g }\quad =0    라는 식.... 뚜둥~!


허걱! 이것은 아인시타인의 중력장 방정식의 좌변항? 맞습니다.

우변항이 0인 중력장 방정식으로 이는 바로 진공속에서의 중력장방정식이 됩니다.


즉, 두개의 라그랑지안만으로도 중력장방정식을 구하면 나오기는 나오는데 조건이 제한된-공속에서의 중력장방정식이 나옵니다.



그럼 다시 우변을 물질로부터의 라그랑지안을 이용해 구합니다.

물질로부터의 라그랑지안은 다음과 같이 쓸 수 있고 여기서 Lm은 물질 라그랑지안 밀도입니다.

                                         

                                        %5Cint%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%204%20%7D%7B%20d%20%7D%20%7Dx%5Csqrt%20%7B%20-g%20%7DLm%20

이 세가지의 라그랑지안을 모다모아  더해서 metric으로 미분해주면 곧바로 아인시타인의 중력장 방정식이 나옵니다~!  끝!


변분법적 방법을 간략하게 이해하는 것은 유용하기는 하지만 인터넷에 돌아다니는 내용들이 틀리거나 수정할 부분들이 많기에 좀 수정하고 보완해야할 부분을 보완해서 올렸습니다.

뭐냐이거? 이게 다야?

녜! 이게 다죠! ^^

너무 쉽죠잉? ㅎㅎ

간략하게 서머리해서 그렇지 실제 정말 미분하려고 들어가면 저것도 졸라리 어렵답니다.

그러나 겁먹지말고 이런 것들을 능수능란하게 해낼수 있도록 지금 수학공부 열씨미 해놓으세요~ 



철타곤 http://dk12.egloos.com/



민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철   심   장

              아래 영화 인터스탤라의 블랙홀 사진은 완전히 잘못된 것이라는 걸 아는 사람이 몇이나 될지몰러~





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