[철심장]일반상대성이론 중력장방정식을 유도하는 가장 간단한 방법(다른버전) 철심장의 과학교실-물리학,수학~




안녕하십니까? 철심장입니다.

내 네이버 블로그에 중력장방정식의 정통적인 변분원리 유도법을 올려놓았는데 여긴 인터넷에 떠도는 좀 다른 방법을 보완할 부분을 보완해 올려봅니다. 

일반상대성이론의 아인시타인의 중력장방정식을 유도하는 방법은 크게 두가지가 있죠

한가지는 아인시타인의 방법이고 하나는 힐베르트의 방법입니다.

사실 둘다 만만찮은데 엄청난 수학적 실력이 있어야 겨우 알아들을 수있죠.

힐베르트의 방법은 소위 변분원리 방법이라고 부르며 수학적 기술로 유도하는 방법인데 아인시타인의 물리학적 방법보다 솔직히 더 쉽습니다. 수학적으로 깔끔하죠.

(물론 수학에 정통한 사람일 경우에 말이죠.대부분의 물리학자들은 힐베르트의 방법을 더 어려워합니다. --;)


여기서는 인터넷에 떠도는 변분원리방법이지만 라그랑지안을 이용한 조금 다른 방법을 소개해볼까해요(결국 거시적으론 같긴 같지만...)

일방상대성이론의 핵심을 물리학적으로 표현한다면 뭐라고해야 할까요?

'바로 라그랑지안이 곡률 R(Ricci scalar)에 비례한다'는 것입니다.


우선 힐베르트는 리찌스칼라가 라그랑지안에 가장 단순하고 적합하다고 봐서 다음과 같은 같은 작용을 제안합니다. 이를 힐베르트 작용이라고 하죠

이 힐베르트 작용 SG 의 변분 δSG 를 구하면 세가지 항의 합으로 된 식이 나와요. 정통적 방법은 거기서 부터 세 항중 두항만 남기면서 유도하죠.

이번엔 약간 달라요.

일반상대성이론에서는 세가지 라그랑지안이 있는데

곡률로부터의 라그랑지안, 진공 상태에서의 라그랑지안, 물질로부터의 라그랑지안이 그것이죠.

우선 모든 작용은 부피에 다음과 같이 비례해야 합니다,

라그랑지안 밀도에 이 부피를 곱한 것을 적분해주면 작용이 나오죠.

라그랑지안 밀도는 스칼라이므로 첨자가 없거나 축약된 첨자만 있어야 하고 공변성을 가져야 하기 때문에 리치 스칼라와 리치텐서, 리만텐서로만 이루어져야 합니다.

따라서 이렇게 곡률로부터의 라그랑지안을 구하면

                                                          .

입니다. 여기서 g는 로 Jacobian을 의미하는데 즉 이것에 마이너스를 붙여 루트 씌어 줘서 적분을 해주면 부피가 되는 것이죠. 라그랑지안이 부피에 비례하는 것이 당연하므로 이 세가지 라그랑지안 모두에  가 들어갑니다.

(여기서  는 계의 모든 점에서 인데 왜냐면 시간좌표에서 계량계수는 음수이고, 공간좌표에서 계량계수는 양수이기 때문이죠. 그런데 체적소는 양의 값이므로 대신에 를 쓰는 것이 옳습니다.)

진공상태에서의 라그랑지안은 부피에 비례하는 항으로

                                                                    

가 됩니다. 이 두가지로부터 중력장방정식의 좌변이 나오는데

그 상태에서  가 구해지고 여기서 뜻밖에 눈에 익은 식이 나옵니다.

바로  라는 식..뚜둥!

허걱! 이것은 아인시타인의 중력장방정식의 좌변항?  맞습니다...


이제 우변은 물질로부터의 라그랑지안을 이용해 구합니다.

물질로부터의 라그랑지안은 다음과 같이 쓸 수 있고 여기서 Lm은 물질 라그랑지안 밀도입니다.

                                                       

이 세가지의 라그랑지안을 모다모아 좌우로 정렬한뒤 미분해주면 곧바로 아인시타인의 중력장 방정식이 나옵니다~! 


이것은 네이버블로그에 올린 정통적인 변분원리방법과는 약간 다르긴 하지만 결국은 같습니다. 둘러치냐 매치냐의 차이?




변분원리 방법을 간략하게 이해하는 것은 유용하기는 하지만 인터넷에 돌아다니는 내용들이 틀리거나 수정할 부분들이 많기에 좀 수정하고 보완해야할 부분을 보완해서 올렸습니다.

뭐냐이거? 이게 다야? 녜! 이게 다죠! ^^ 너무 쉽죠잉? ㅎㅎ

간략하게 서머리해서 그렇지 실제 정말 변분의 각 항마다 유도하려고 들어가면 저것도 상당히 어렵답니다.

그러나 겁먹지말고 이런 것들을 능수능란하게 해낼수 있도록 지금 수학공부 열씨미 해놓으세요~

철타곤 http://dk12.egloos.com/


민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철 심 장


              아래 영화 인터스탤라의 블랙홀 사진은 완전히 잘못된 것이라는 걸 아는 사람이 몇이나 될지몰러~


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