[철심장]일반상대성이론 중력장방정식을 유도하는 가장 간단한 방법 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 철심장입니다.

일반상대성이론의 아인시타인의 중력장방정식을 유도하는 방법은 크게 두가지가 있죠

한가지는 아인시타인의 방법이고 하나는 힐베르트의 방법입니다.

사실 둘다 만만찮은데 상당한 수학적 실력이 있어야 겨우 알아들을 수있죠.


힐베르트의 방법은 소위 변분원리 방법이라고 부르며 수학적 기술로 유도하는 방법인데 아인시타인의 물리학적 방법보다 알고보면 솔직히 더 쉽습니다.

(물론 수학에 정통한 사람일 경우에 말이죠. 대부분의 물리학자들은 힐베르트의 방법을 더 어려워합니다. --;)


힐베르트의 방법중에서도 간단하게 정리한 방법이 있는데....

오늘 내가 소개하려는 일반상대성이론의 중력장방정식을 유도하는 가장 간단한 방법이 바로 그것이죠. 사실 간단하다기보단 수학적 방식임으로 엄밀하게 유도하는 방법이라고 함이 더 맞겠네요


일방상대성이론의 핵심을 물리학적으로 표현한다면 바로 '라그랑지안이 곡률 R(Ricci scalar)에 비례한다'고 표현할 수 있겠는데요

바로 이 사실로부터 아인시타인의 중력장방정식은 수학적으로 간단하게 유도됩니다.


우선 힐베르트는 리찌스칼라가 라그랑지안에 가장 단순하고 적합하다고 봤어요, 그래서 다음과 같은 작용을 제안합니다. 이를 힐베르트 작용이라고 하죠.


                              %5Ccombi%20_%7B%20G%5Cquad%20%20%7D%7B%20S%20%7D%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Cint%20%7B%20R%20%7D%5Csqrt%20%7B%20-g%20%7D%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%204%20%7D%7B%20d%20%7Dx%20


그리고 이것을 변분합니다, (전체작용 S를 구하기위해 먼저 중력부분 SG 를 먼저 구하고 나중에 물질 부분의 SM를 합산해줍니다.)

일단 힐베르트작용 SG 의 변분 δSG 를 구하면 세가지 항의 합으로 된 식이 나옵니다

이 세 항을 δS1δS2δS3 , 로 놓고 각 항을 따로 구하면 


우여곡절의 계산끝에 허무하게도 δS1 =0, 

따라서  δS2, δS3 만 남는데  

δS3 의 변분항을 쎈스있게 서로 맞춰주면(이 과정이 매우 중요함)


                


일반상대성이론에 나오는 라그랑지안은 세가지가 있는데 곡률로부터의 라그랑지안진공 상태에서의 라그랑지안, 물질로부터의 라그랑지안, 그 중 앞의 두가지가 구해진 것이예요

그런데 δS=0 이 되려면 우변의 combi _{ mu nu  }{ R }quad -quad 1/2Rcombi _{ mu nu  }{ g }quad =0    이 되야 되겠죠?

엥? 뭔가 눈에 익숙한 식이죠?

허걱! 이것은 아인시타인의 중력장 방정식의 좌변항? 맞습니다 

이제 중력장방정식의 좌변항이 구해진거예요~....^^


그럼 이제 우변을 물질로부터의 라그랑지안을 이용해 구해 봅니다.

그러려면 우선 아래와 같은 총작용을 고려해야죠

                         S%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%2016%5Cpi%20G%20%7D%5Ccombi%20_%7B%20G%20%7D%7B%20S%20%7D%5Cquad%20%2B%5Ccombi%20_%7B%20M%20%7D%7B%20S%20%7D%20

여기서 SM은 물질에 대한 작용이예요 ,위와같은 과정을 거쳐


                                       %5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B%20-g%20%7D%20%7D%5Cfrac%20%7B%20%5Cdelta%20S%20%7D%7B%20%5Cdelta%20%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cmu%20%5Cnu%20%20%7D%7B%20g%20%7D%20%7D%3D0%20

이렇게 놓을 수 있죠. 윗 식을 아랫식에 대입해 정리하면 또 눈에 익숙한 좌변식을 포함하게 되요...이 좌변식만 남기고 좌우로 정리한후 8∏G만 따로 몰아놓고 나머지 우변항을  로 놓으면 에너지운동량 텐서  가 구해짐과 동시에 다음과 같이 저절로 아인시타인의 중력장 방정식이 얻어집니다~!  끝!


                             %5Ccombi%20_%7B%20%5Cmu%20%5Cnu%20%20%7D%7B%20R%20%7D%5Cquad%20-%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%20%7DR%5Ccombi%20_%7B%20%5Cmu%20%5Cnu%20%20%7D%7B%20g%20%7D%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%208%5Cpi%20G%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%204%20%7D%7B%20c%20%7D%20%7D%5Cquad%20%5Ccombi%20_%7B%20%5Cmu%20%5Cnu%20%20%7D%7B%20T%20%7D%20


흔히 변분법이라고 일컫는 이 변분원리 방법을 간략하게 이해하는 것은 유용하기는 하지만 인터넷에 돌아다니는 내용들이 틀리거나 수정할 부분들이 많기에 아예 제대로된 유도법을 간략하게나마 올렸습니다.

뭐냐이거? 이게 다야?  녜! 이게 다죠! ^^   너무 쉽죠잉? ㅎㅎ

간략하게 서머리해서 그렇지 실제 저걸 제대로 구하려하면 졸라리 어렵답니다.

시간이 되면 이 방법을 제대로 올려놓겠습니다,

이렇듯 라그랑지안만 잘 익혀놓으면 중력장방정식도 간단하게 유도할 수 있으니 겁먹지말고 이런 것들을 능수능란하게 해낼수 있도록 지금 수학공부 열씨미 해놓으세요~ 


철타곤 http://dk12.egloos.com/

민간핵무기개발추진위원회 http://cafe.naver.com/nuclearmaker


민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철   심   장



              아래 영화 인터스탤라의 블랙홀 사진은 완전히 잘못된 것이라는 걸 아는 사람이 몇이나 될지몰러~


덧글

  • 호옷 2019/03/31 15:38 # 삭제 답글

    놀랍군요~
  • 딱이야 2019/07/22 11:32 # 삭제 답글

    재밌네요...매우 명석하게 요약하셨군요
  • ㅇㅇ 2019/10/20 13:56 # 삭제 답글

    대단하네요 그 어려운 내용을 어쩜 저렇게 간단명료하게 요약할수가 있죠?
댓글 입력 영역



통계 위젯 (화이트)

23250
1054
2130720