[철심장]일반상대성이론:중력장방정식 킹스칼리지유도법(1)-메트릭텐서 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 철심장입니다.

전공자든, 일반인이든 일반상대성이론을 공부해보겠다고 나섰다가 며칠도 안되 바로 좌절하는 이유가 바로 '텐서'때문이죠. 텐서는 사실 대학원전공자들도 다 마스터했다고 감히 자신하지못하는 어려운 분야입니다.

기껏해야 텐서알게브라정도 외워가지고 텐서를 다 안듯 착각하는 사람들이 대부분이죠.텐서는 머리속에서 그 기하학적 그림이 그려져야 제대로 이해한건데요 그것은 천재나 준천재급되어야 가능한 것이라 결국 난다긴다하는 명문대 수재들도 결국 텐서의 장벽을 넘지 못하는 경우가 허다하다능...

이렇게 전공자들에게도 어려운 '텐서'가 떡하니 버티고 있으니 중력장방정식 유도를 제대로 배워본다는 것은 하늘의 별따기인데요.

마침 중력장방정식을 굳이 텐서를 공부하지않고도 미적분공식들로만 유도하는 골때리는 방법이 있더군요.-일명 킹스칼리지방식....ㅋㅋ

영국의 킹스칼리지 대학출신의 어느 분이 소개한 방식이라 제가 일명 '킹스칼리지'방식이라 이름붙혔습니다.(참고로 저는 처음 이 방법을 보고 하루종일 배꼽잡고 웃었습니다~이렇게 골때리는 방법이 있을 수가...ㅋㅋ)


이 방식은 텐서를 이해못하는 사람들을 위해 만든 방식이라 좀 포괄적인 면이 있기는 합니다. 

물론 이 방식도 텐서를 이용하긴 합니다. 텐서라는 것없이는 중력장방정식 자체를 표현할수없으니까요

다만 일반적인 텐서의 기술방식이 아닌 미적분을 이용한 방식을 택해서 미적분만 알면 그리 어렵지않게 중력장방정식을 이해할 수 있도록 유도합니다.

(물론 이 방법도 미적분을 이용하는 것이기에 미적분에 지식이나 실력이 없으신 분들은 미적분부터 공부해주시기 바래요)

장점은 텐서의 이해없이도 중력장방정식 유도의 적나라한 내용을 다 맛볼 수 있다는 것.

단점은 중력장방정식 유도를 보고 '~'그렇구나 하긴 했는데 뭘 봤는지 그게 뭔뜻인지는 이해가 안간다는 점...ㅋㅋ

그래도 텐서를 이렇게도 유도하고 기술할 수 있구나 하는 텐서에 대한 공부도 되므로 이제 시작합니다~!

이 방법의 시작은 메트릭텐서(계량텐서)를 텐서개념이 아닌 삼각형구도법으로 유도하는 것에서 출발합니다!

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직각 삼각형의 두 변을 각각 dx1, dx2 라고 놓고 그 빗변을 ds라고 놓으면

ds2=dx1 2 +dx2 2 (피타고라스의 정리)


이 되겟죠....이것을 무한차원의 공간개념으로 확장하면....

ds2=dx1 2 +dx2 2 + ............. = m dxmdxm

여기까지는 이해가시죠? 쉽죠? 여기서 크로네커델타의 개념을 빌려옵니다.

크로네커델타 δmn m=n=1, mn 0 로 정한 일종의 계산약정이거든요..

(크로네커텔타도 일종의 텐서이지만 쉬우니 별도로 찾아보세요) 이걸 이용하면 윗식은

ds2= mn dxmdxn δmn 로 표현 되겠죠? (결합,교환법칙이 성립하니..)

ds2= δmn mn dxmdxn - (1)

여기서 dxm 을 살펴보죠...여기서부터는 미적분 지식이 필요합니다.

이것은 미분으로 다음과 같이 고쳐 쓸수 있죠(이글루스에는 수식이 안올라가 그냥 쓸게요...)

dxm = ​(∂ xm / ∂yr)  dyr   ,       dxn= ​(∂ xn / ∂ys)  dys   


이해되심? 여기서 막히면 안되요~

( 뚫어라 쳐다보면 이해될 꺼예요 ㅋㅋ, m,n이 다르므로 r과 s로 나뉘었다는 점 주의하세요 )

윗식을 (1)식에 대입해 보죠, 그냥 대입하는거니깐 간단해요

ds2δmn mn ​(∂ xm / ∂yr)  dy​(∂ xn / ∂ys)  dys   


여기까진 그냥 대입이니깐 어렵지않죠? 이제 자리를 교환해볼께요...

ds2δmn mn ​(∂ xm / ∂yr) ​(∂ xn / ∂ysdyr dys     ---- (2) 

뚜둥~! 여기서 우변의

δmn mn ​(∂ xm / ∂yr) ​(∂ xn / ∂ys)


을 바로 메트릭텐서 라고 하며 gmn 으로 씁니다. 즉,

gmn = δmn mn ​(∂ xm / ∂yr) ​(∂ xn / ∂ys)


자~! 이제 드디어 메트릭텐서(계량텐서)가 미적분 만으로 구해졌죠?

그러므로 다시 처음으로 돌아가 이것을 (2)식에 대입해 삼각형의 빗변의 제곱,즉 피타고라스정리를 메트릭텐서를 이용해 표현하면 다음과 같습니다.

              ds2gmn dyr dys


(피타고라스 정리의 메트릭텐서 표현)

그런데 이 식은 단순히 피타고라스 정리라서 중요한게 아니라 으로 중력장방정식 유도에 있어서 매우 중요한 식이 되는데요. 여기서 ds2 을 선요소라고 부르며 일반상대성이론에서 매우 중대한 의미를 지닙니다.

사실 메트릭텐서에 대해서는 더 설명할게 무궁무진한데요...

특히 메트릭텐서의 의미나 저 선요소와 메르릭텐서와 관계등은 대학원에서도 서너시간 배워야하는 내용이라 그리 간단한 내용이 아닙니다.

메트릭텐서에 대해선 별도로 부연설명하는 시간을 갖도록 하죠.

이 강의는 텐서에 대한 본격적 강의가 아니므로 생략하고 다음 시간에는 맞바로 크리스토펠기호를 미적분만으로 구하기와 리만텐서로 맞바로 넘어갑니다...뚜둥~! 초고속이죠? ^^V


민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철   심   장




덧글

  • 야리끼리 2019/04/05 18:54 # 삭제

    흥미롭군요....
  • ㅡㅡ 2019/04/07 02:58 # 삭제

    다음 편 완전 기대
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