[철심장]일반상대성이론:중력장방정식 킹스칼리지유도법(2)-텐서와 공변미분 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 철심장입니다.

지난 시간 소개한 메트릭텐서의 삼각함수 유도법은 왠만한 물리학교재를 다 뒤져봐도 잘나오지않는 획기적인 방법으로 그동안 메트릭텐서가 공간기하학적으로 이해안돼 헤멨던 사람들에게 단비와 같았을 것입니다. 실로 텐서는연산보다도 그 공간기하학적 의미를 이해하는게 가장 중요한데요, 그건 천재나 준천재나 가능한 일이라 소개한바 있습니다.

이렇듯 계량텐서(메트릭텐서)의 삼각함수 유도법은 텐서를 완벽히 이해하지않고서는 유도불가능한 방법으로 텐서를 이해시키는데 상당히 중요한 역할을 합니다. (제가 사실 엄청 아꼈던 것을 공개한 겁니다. T~T)

지난 시간에 이어 오늘은 그냥 텐서에 대한 미적분적 표현과 공변미분을 소개합니다.

여기서 잠깐! 텐서와 행렬이 어떤 차이가 있을까요?

대부분의 학생들은 텐서를 행렬로 착각하는데요, 텐서와 행렬은 완전히다릅니다.

무슨 차이가 있는지는 숙제로 남겨둘께요댓글 주시면 답 알려드립니다…^^

킹스칼리지방식은 텐서를 기하학적으로 다루지않고 그냥 미적분 방식으로만 다룬다고 말했습니다. 하지만 이 방법 또한 텐서 이해에 목말랐던 학생들에게 오히려 텐서 이해에 도움을 줍니다..   시작합니다.

텐서는 벡터의 곱으로 표시됩니다.


텐서 T^mn은 벡터 A^m과 벡터 B^n 의 곱으로 표시된다는 뜻이죠. 

여기서 재미있는 텐서에 대한 미적분 표현을 소개합니다.

잊지 마세요...미적분으로만 나갑니다...ㅋㅋ 

(킹스칼리지에서는 성분 표기를 좀 헷갈리게 하는데요..이 부분이 상당히 불만입니다.미적분에 능통한 사람들에게는 오히려 쉬울겁니다...)

벡터A^m 과 벡터B^n 의 미분을 위와 같이 놓고 둘을 곱하면... 

각각의 벡터 미분의 곱은 각각의 벡터의 성분의 미분의 합을 뜻합니다.(?)  전편의 시그마 사용법을 고려해서 잘 살펴보면 이해가실겁니다.

윗식은 시그마를 합치고 교환법칙을 쓰면 다음과 같이 되죠...

여기서 벡터 A^r,B^s 곱은 새로운 텐서를 나타내므로 그 텐서를 T^rs로 놓습니다.  

그러면 윗식은 다음과 같이 되겟죠.....


윗식은 텐서의 미분 표현식을 보여줍니다. 윗식은 contravariant, 아랫 식은 covariant 입니다.


                                                                                          ----(A)

왜 이렇게 썻느냐? 공변미분 때문이죠.ㅋㅋ

공변미분을 역시 미적분방식으로만 유도하는데요....어이없을 정도로 간단해서 화가 납니다...--;

원래 공변미분은 공변기저벡터의 미분과 크리스토펠기호에서부터 유도하죠.

그런데 킹스칼리지 방식은 그런거 없습니다. --;  오히려 반대입니다. 공변미분 유도해서 크리스토펠기호 정합니다...ㅋㅋㅋㅋ

우선 아래와 같이 놓습니다.

이렇게 놓고 (A)식을 가져오면...

여기서  T_rs는 다음과 같으니까....

 

윗 식에 대입하면.....


 체인룰이라고 알랑가 모르겠네...이것은 체인룰에 의해...


그런데 여기서 우변이 괄호안의 항과 같아야 하므로....(이것이 매우 중요)

괄호안의 항과 같게놓고  둘러치고 메치면


뚜둥~! 이 식이 나옴....여기서 빨간색 항을 바로 크리스토펠기호라고 함...즉,

그리고 이 계산 결과는 다음 사실을 말해주는데...


즉, 일반 편미분과 지금 수행한 미분과 결과값이 다르다는 사실을 보여주는 이죠.

지금 수행한 미분  T_mn(y)를 텐서의 공변미분이라 하고  다음과 같이 정의하죠


 이를 정식으로 폼나게 다시 쓰면......

왜 이같은 작업을 햇냐구요? 바로 이 공변미분을 구하기 위함이였어요...

앞서 말한대로 원래 공변미분은 이런 방법으로 유도하지않죠. 원래 기존 방법이 이 방법보다 휠씬  쉽습니다.(물론 텐서기초가 다져진 사람들에게는요..ㅋㅋ) 이 방법은 그렇게 텐서기초가 다져지지않은 사람들을 위한 미적분을 이용한 방법이라고 말한 이유를 이제 알 수 있을 겁니다.

미적분 실력이 뛰어난 사람들은 벌써 책상을 치며 "이거였구나..'하고 웃고 있을텐데요...

킹스칼리지 방식 골때리죠?


사실 공변미분을 제끼고 리만텐서로 넘어갈까하다가 이 부분을 소개했습니다.

(왜냐면 저 역삼각형이 있어야 하걸랑요~ 얄미운 역삼각형...--;)

대신 리만텐서를 대충 빨리 나가버릴 겁니다.....

어? 내가 도대체 뭐하는거냠? ㅋㅋ


민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철   심   장


                                             음.... 헤~   어~?





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