[철심장]일반상대성이론,중력장방정식 킹스칼리지유도법3-리만텐서,리찌텐서 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 철심장입니다.

어려운 크리스토펠기호를 간단히 처리했으니 이제 리만텐서와 리찌텐서로 들어갑니다,

리만텐서에 대한 글들이 꽤있던데요 대부분 진짜 중요한 내용은 빠져있더라고요.

리만텐서에서 진짜 중요한 것은 리만텐서의 물리학적 의미가 도대체 무엇이냐? 하는 것이죠!

리만텐서의 물리학적 중요성은 바로 공간의 휘어짐 여부를 수학적으로 나타낸다는 것입니다.

반대로 휘어진 공간을 수학적으로 표현한다고 볼 수도 있겠죠.

지난 시간에 크리스토펠기호는 평평한 공간에서는 0이되고 휘어진공간에서는 0이되지않는다고 했지요

따라서 리만텐서도 크리스토펠기호를 포함할 것이라는 예측은 액셀런트한 것입니다,

이제 리만텐서를 미적분 방식으로 유도해봅니다.

리만텐서로 들어오면 이 킹스칼리지 미적분방식이 훨씬 더 어렵다는 것을 알게됩니다.

그냥 텐서를 이용한 리만텐서 유도는 그리 어렵지않거든요



위 그림 평행사변형에서 평면이라면 A에서 출발해서 B,C,D를 돌아오면 A로 되돌아와야 합니다

그러나 곡면이라면 A에서 출발해서 B,C,D를 돌아와도 A로 다시돌아오지않고 A'에 도착하게됩니다,

이것을 식으로 나타내보죠

(VC - VD) -(VB -VA) - [(VC -VB) - (VD -VA')] ∴ VA -VA' = dv

이해가시나요? 한바튀돌았는데 제자리에 안오고 차이가 나는데 dv만큼의 차이가 난다는 것이고

dv는 VA -VA'라는 얘깁니다,

VC - VD 를 지난 시간에 배운 공변미분식을 이용해서 수학적으로 다음과 같이 놓을 수 있습니다.

그러면


이 되겠죠....그런데 VA와 VA'가 같지않기 때문에 위의 두 결과도 같지 않습니다,

그래서 이제 VA -VA' = dv 를 계산해봅니다.



여기서 [A,B]=AB-BA로 정하고 커뮤니테이트라고 읽습니다.

그러면 전 편의 (7)식에 의해


빨간색부분을 바로 리만(곡률)텐서라고 하고 이와같이 씁니다.

이제 리만텐서를 구했습니다. 다시 정리해서 쓰면


리만텐서를 축약한 것을 리찌텐서라고 합니다 Rμν 라고 씁니다.

또 리찌텐서에 g^μν 를 한번 더 곱해 축약하면 리찌스칼라 R이 나옵니다.

이 부분은 텐서를 모르면 설명하기 힘든 부분이므로 그냥 넘어갑니다.

킹스칼리지에서도 이 부분은 큰 설명없이 넘어가 버리더군요 --;

사실 리만텐서도 이렇게 미적분방식말고 그냥 텐서방식으로 유도하면 휠씬 더 쉽습니다(?)

그냥 2계 공변미분을 두개 각각 해줘서 그 둘을 빼주면 리만텐서 그냥 나옵니다.

그런데 그 정도 텐서수준에 도달하려면 대학원에서 텐서에 대해 3개월에서 한학기정도 배워야합니다..ㅋㅋ

그래서 이 고생하는거죠머...사실 이거 실효성 없습니다,--;

정식으로 텐서배워 중력장방정식 공부하는게 훨씬 좋습니다.

그러나 도저히 텐서를 배울 시간과 여건이 안되고 또 배워봐야 도저히 이해가 안되는 대부분의 사람들은 이렇게 미적분을 통해 중력장방정식에 접근할 수도 있다는 것을 알려드리는 것입니다요~!

이제 남은 것은 3가지 입니다.

1. 이제 까지 배운 것을 토대로 방정식의 좌변을 완성하는것

2. 우변의 K값을 구하는것

3. 우변의 에너지-운동량텐서를 구하는것

그러면 중력장방정식이 완성되는 것이죠...^^

따라서 킹스칼리지 유도법은 여기까지입니다. 나머지는 일반적인 아인시타인 유도법과 같습니다...

시간이 되면 아예 정규적인 중력장방정식의 아인시타인 유도법을 올려보도록 하죠..그런데 솔직히 좀 아까워서리....^^


민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철   심   장





덧글

  • 2019/08/05 10:56 # 삭제

    와~
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