Covecter(여벡터)란 dual vector,1-form 또는 Linear Form(일차 형식)이라고 칭하며
vector space에서 scalar field로 선형 사상(linear map)을 하는 방법을 나타낸다.
다시 말해 covector의 결과물은 scalar가 된다는 것을 뜻한다.
covector인 a를 정의하였을 때 vector space인 V는 scalar가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
a : V ->
이를 간단한 행렬로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.
이와 같이 covector는 두 개의 vector의 연산으로 scalar 값이 도출됨을 확인할 수 있다.
사실 이 설명을 듣고 Covecter 즉,1-form 이 뭔지 이해할 사람이 과연 몇이나 될지?
특히 스칼라와 벡터를 마구 혼란스럽게 써놨다.
하지만 이렇게 수학적으로는 어려운 개념인1-form이 물리학쪽으로 오면, 특히 철심장의 설명을 들으면 상당히 간단해진다. ^^
즉, 물리학에서 1-form은 텐서와 연관시켜 공부하면 매우 간단해진다는 얘기
우선 V = v^i e_i 는 벡터이고 이제 벡터의 기저와 같은 방법으로 변하는 성분을 가진 또다른 양을 생각해보면 W=w_i e^i 로 쓸 수 있는데 여기서는 성분의 첨자가 벡터의 기저와 같이 내려와 있고 반대로 기저의 첨자는 위로 올라가 있는데 그래서 이를 듀얼벡터,바로 1-form이라 정의한다.
따라서 1-form은 특히 성분이 벡터의 기저와 같은 방법으로 변하고 벡터는 성분이 기저와 반대로 변한다. 이 간단한 것을 조금더 전문적으로 설명해보면
dƒ/ dλ = dx^i/dλ·∂ƒ/∂x^i=dx^i/dλ ·∂ƒ/∂x^j e_i·e^j(여기서 e_i·e^j= δi^j)
이렇게 벡터와 듀얼벡터사이의 내적을 정해줄 수가 있다.
그러면 벡터 V = dx^i/dλ e_i 와 W= ∂ƒ/∂x^i e^i 가 서로 내적되어 어떤 dƒ/ dλ를 만들게 된다,
dƒ = ∂ƒ/∂x^i dx^i ≡ ∂i ƒ dx^i 에서 ∂i ƒ를 성분 dx^i를 기저로 생각해서
W=dƒ 라고 쓸 수도 있는데 여기서 듀얼벡터 dƒ를 1-form 이라 부른다.
기하학적으로 보면 벡터는 곡선의 접선벡터로 공간에곡선이 주어지면 벡터가 정해진다.
이에 반해 1-form은 등고선과 비슷한데 공간에 함수 f가 주어지면 일정한 간격의 함수값마다 함수값이 같은 점들을 연결하여 1-form을 만들 수 있다,
따라서 공간에 주어진 곡선을 따라 함수 f의 기울기 df/dλ 를 구하는 것이 V와 W의 내적이 된다.
그렇다면 거부절미하고 벡터를 1-form 으로 변환시키는 가장 간단한 방법이 있다,
뭘까? 바로 메트릭텐서를 곱해주는 것이다,
사실 1-form은 그 자체로는 큰 의미가 없다. 바로 이렇게 텐서로 넘어가는 과정에서 필수적인 역할을 하는 요소라는 것이 그 의미이고 앞으로1-form이란 단어는 안쓰고 다른 단어 xxxx를 사용하게 된다는 점을 명심해야 한다.
이렇게 1-form이 결국은 xxxx라는 것을 아는 학생들도 드물다, 따라서 1-form에 대해서 그렇게 헤메는 것이다, 사실은 이처럼 간단한데....ㅋㅋ
민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철 심 장
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