[철심장]벡터와 one-form,그리고 메트릭텐서 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 철심장입니다,
상대성이론을 공부하려면 반드시 텐서를 알아야 하고 텐서를 공부하려면 먼저 벡터와 1-form을 공부해야 하는데
사실 벡터와 1-form은 그리 어려운 내용이 아닌데 교과서마다 무척 어렵게 소개를 하고 있어 학생들이 매우 곤란을 겪는 경우가 대부분이다,

특히 전혀 개념을 못잡고 헤메는 1-form, 실은 매우 간단한 내용이며 그리 어렵지도 않다,

Covecter(여벡터)란 dual vector,1-form 또는 Linear Form(일차 형식)이라고 칭하며 

vector space에서 scalar field로 선형 사상(linear map)을 하는 방법을 나타낸다.

다시 말해 covector의 결과물은 scalar가 된다는 것을 뜻한다.

covector인 a를 정의하였을 때 vector space인 V는 scalar가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

a : V -> 


 이를 간단한 행렬로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.


이와 같이 covector는 두 개의 vector의 연산으로 scalar 값이 도출됨을 확인할 수 있다.

사실 이 설명을 듣고 Covecter  즉,1-form 이 뭔지 이해할 사람이 과연 몇이나 될지?

특히 스칼라와 벡터를 마구 혼란스럽게 써놨다.

하지만 이렇게 수학적으로는 어려운 개념인1-form이 물리학쪽으로 오면, 특히 철심장의 설명을 들으면 상당히 간단해진다. ^^

즉, 물리학에서 1-form은 텐서와 연관시켜 공부하면 매우 간단해진다는 얘기


우선 V = v^i e_i 는 벡터이고 이제 벡터의 기저와 같은 방법으로 변하는 성분을 가진 또다른 양을  생각해보면 W=w_i e^i 로 쓸 수 있는데 여기서는 성분의 첨자가 벡터의 기저와 같이 내려와 있고 반대로 기저의 첨자는 위로 올라가 있는데 그래서 이를 듀얼벡터,바로 1-form이라 정의한다. 


따라서 1-form은 특히 성분이 벡터의 기저와 같은 방법으로 변하고 벡터는 성분이 기저와 반대로 변한다. 이 간단한 것을 조금더 전문적으로 설명해보면


dƒ/ dλ = dx^i/dλ·∂ƒ/∂x^i=dx^i/dλ ·∂ƒ/∂x^j e_i·e^j(여기서 e_i·e^j= δi^j)

이렇게 벡터와 듀얼벡터사이의 내적을 정해줄 수가 있다.

그러면 벡터 Vdx^i/dλ e_i 와 W= ∂ƒ/∂x^i e^i 가 서로 내적되어 어떤 dƒ/ dλ를 만들게 된다,

dƒ = ∂ƒ/∂x^i dx^i ≡ ∂i ƒ dx^i 에서 ∂i ƒ를 성분 dx^i를 기저로 생각해서 

W=dƒ 라고 쓸 수도 있는데 여기서 듀얼벡터 dƒ를 1-form 이라 부른다.

기하학적으로 보면 벡터는 곡선의 접선벡터로 공간에곡선이 주어지면 벡터가 정해진다.

이에 반해 1-form은 등고선과 비슷한데 공간에 함수 f가 주어지면 일정한 간격의 함수값마다 함수값이 같은 점들을 연결하여 1-form을 만들 수 있다,

따라서 공간에 주어진 곡선을 따라 함수 f의 기울기 df/dλ 를 구하는 것이 V와 W의 내적이 된다.


그렇다면 거부절미하고 벡터를 1-form 으로 변환시키는 가장 간단한 방법이 있다, 



뭘까? 바로 메트릭텐서를 곱해주는 것이다,

이는 메트릭텐서의 정의만 알아도 쉽게 알 수 있으며 이 연산은 매우 중요한데 일반상대성이론의 중요공식 유도시 텐서계산에 자주 사용되는 쌩기초 연산이다,

사실 1-form은 그 자체로는 큰 의미가 없다. 바로 이렇게 텐서로 넘어가는 과정에서 필수적인 역할을 하는 요소라는 것이 그 의미이고 앞으로1-form이란 단어는 안쓰고 다른 단어 xxxx를 사용하게 된다는 점을 명심해야 한다.


이렇게 1-form이 결국은 xxxx라는 것을 아는 학생들도 드물다, 따라서 1-form에 대해서 그렇게 헤메는 것이다, 사실은 이처럼 간단한데....ㅋㅋ


민간핵무기개발추진위원회와 철타곤의 철   심   장








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