[철심장]리만곡률텐서의 독립성분의 수 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 철심장입니다,
네이버 지식인에서 본격활동 1년여만에 천문학분야 2위, 태양신에 올랐는데 
사실 거의 수준낮은 질문들에 즐비한 네이버에 웬일로 수준높은 텐서관련 질문이 올라왔기로 여기 다시 올려본다.

리만곡률텐서에 대한 질문인데 이거 제대로 설명하려면  대학원교과서 1/4을 강의해야하므로 간략하게만 소개해주었음,  
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질문  내공100  리만 곡률텐서의 독립적 성분의 수

N차원 리만곡률텐서에서 독립적 성분의 수가 n^2(n^2-1)/12 인 이유가 궁금합니다. 증명해주시면 감사하겠습니다. 

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철심장님 태양신 채택답변수 4,064 받은감사수 21 천문우주학2위, 지구과학14위

답변:


하하..살다보니 여기에 이런 고차원적인 텐서 질문도 올라오네~

드디어 내 전문분야가 나오다뉘~ ^^

간단히 정답만 알려주면....

N차원 리만곡률텐서에서 독립적 성분의 수가 n^2(n^2-1)/12 인 이유는

리만곡률텐서 R_abcd 는 4계텐서이지만 지표 (ab)와 (cd) 끼리는 반대칭이기 때문에 같은 짝의 지표는 나올수 없기 때문!


즉, 2차원의 곡면의 경우 오직 R_1212 하나만 있고

3차원 공간의 경우는 12, 13, 23의 같은 짝의 성분3개와 서로 다른 짝의 성분조합 3개 합쳐 6개만 있을 뿐이고

4차원 사공간의 경우는 01,02,03,12,13,23의 같은 짝 성분 6개와 서로 다른 짝 15개가 있으므로 결국 21개의 독립성분이 존재하게 됨,

이 관계를 N차로 확장해 수식으로 정리하면 n^2(n^2-1)/12 이렇게 되는 것임.


리만곡률텐서에 대해  이해했다면 증명이고 뭐고 필요없이 이렇게 되는 것이 당연한 것임을 알텐데

질문으로봐서 리만곡률텐서에 대해 자세히 모르는 것같음,,,,--:

자세히 설명하자면 교과서 1/4정도를 설명해야하므로 생략하고 질문에 해당하는 답만 하였다는 점 양해바람.   


                             어때?  내용 최고지? 

                   








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