안녕하십니까? 철심장입니다,
네이버 지식인에서 본격활동 1년여만에 천문학분야 2위, 태양신에 올랐는데
사실 거의 수준낮은 질문들에 즐비한 네이버에 웬일로 수준높은 텐서관련 질문이 올라왔기로 여기 다시 올려본다.
리만곡률텐서에 대한 질문인데 이거 제대로 설명하려면 대학원교과서 1/4을 강의해야하므로 간략하게만 소개해주었음,
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질문 내공100 리만 곡률텐서의 독립적 성분의 수
N차원 리만곡률텐서에서 독립적 성분의 수가 n^2(n^2-1)/12 인 이유가 궁금합니다. 증명해주시면 감사하겠습니다.
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철심장님 태양신 채택답변수 4,064 받은감사수 21 천문우주학2위, 지구과학14위
답변:
하하..살다보니 여기에 이런 고차원적인 텐서 질문도 올라오네~
드디어 내 전문분야가 나오다뉘~ ^^
간단히 정답만 알려주면....
N차원 리만곡률텐서에서 독립적 성분의 수가 n^2(n^2-1)/12 인 이유는
리만곡률텐서 R_abcd 는 4계텐서이지만 지표 (ab)와 (cd) 끼리는 반대칭이기 때문에 같은 짝의 지표는 나올수 없기 때문!
즉, 2차원의 곡면의 경우 오직 R_1212 하나만 있고
3차원 공간의 경우는 12, 13, 23의 같은 짝의 성분3개와 서로 다른 짝의 성분조합 3개 합쳐 6개만 있을 뿐이고
4차원 사공간의 경우는 01,02,03,12,13,23의 같은 짝 성분 6개와 서로 다른 짝 15개가 있으므로 결국 21개의 독립성분이 존재하게 됨,
이 관계를 N차로 확장해 수식으로 정리하면 n^2(n^2-1)/12 이렇게 되는 것임.
리만곡률텐서에 대해 이해했다면 증명이고 뭐고 필요없이 이렇게 되는 것이 당연한 것임을 알텐데
질문으로봐서 리만곡률텐서에 대해 자세히 모르는 것같음,,,,--:
자세히 설명하자면 교과서 1/4정도를 설명해야하므로 생략하고 질문에 해당하는 답만 하였다는 점 양해바람.
어때? 내용 최고지?
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