[철심장]우주론강의(2)-정적우주론의 수학적 유도! 물리학교실-특수,일반상대성이론



안녕하십니까? 물리학성 철심장입니다,

오래기다렸죠? 우주론강의 두번째 시간이 너무 오랫만이군요~^^

내가 게을러서리....ㅋㅋ

아시다싶이 저는 텐서같은 일반인들은 듣도 보도 못한 어려운 수식을 동원한 대학원수준의 내용을 소개하는게 목적이기 때문에 수식올리기가 까다롭다보니 솔직히 좀 게을러져요.

그래도 지난 강의에 이글루스 블로그,네이버 블로그 합쳐서 몇 만 명이 넘는 성원에 늦으나마 다음 강의를 올려드립니다,^^

오늘은 지난 시간 우주론 요약 서론에 이어서 그 두번째로 본격적인 내용인 '정적우주론과 우주반경의 문제'입니다.

정적우주론은 우주가 팽창하지도 않고 수축하지도 않고 그냥 그대로 움직이지않고 변하지도 않고 있다는 이론인데요~

대표적으로 뉴튼의 정적우주론 아인시타인의 정적우주론이 있습니다,

뉴튼의 정적우주론과 아인시타인의 정적우주론은 한가지 분명한 차이가 있는데요

뭐냐면..뉴튼의 정적우주론은 우주는 무한히 정적으로 펼쳐져 있다는 주장이고

아인시타인의 정적우주론은 우주는 유한하며 정적으로 퍼져 있다는 주장이예요.

즉 뉴튼은 우주는 무한하다고 봤고 아인시타인은 우주는 유한하다고 봤다는 차이가 있죠

아인시타인이 우주는 유한하다고 본 이유는 그의 중력장 방정식 때문이지요

이미 서론에서 소개했지만 우주론이란 분야는 '아인시타인의 중력장방정식' 하나로 출발한 과학 분야예요.

아인시타인이 특수상대성이론발표후 무려 10여년의 노력끝에 완성한 일반상대성이론에서 나오는 그 유명한 중력장방정식에 의해서 우주의 비밀은 서서히 풀리기 시작하죠.

그러나 아인시타인이 보는 우주는 아무 변화없는 것으로 보였죠.

그래서 아인시타인은 우주에 대해 다음 두가지의 결론을 내려요.

1. 우주는 전체적으로 균질하고 등방적이다.

2, 우주는 정지해 잇으며 평균밀도도 시간에 따라 변하지 않는다.

이것이 정적우주론의 두 기본 명제예요

그럼 이렇게 말로만 씨부리면 설명하면 과학이 아니죠!

또 이 정도 설명이야 개나소나 누구나 아는 척 다하죠.그래서 저는 정적우주론이 어떻게 수식.특히 텐서식으로 유도되고 표현되는지 소개해볼께요~^^V

(모든 수식과 유도과정을 다 보여드릴수는 없고 대략 이런 수식들과 이런 유도과정을 거친다는 것만 소개할께요.)

아인시타인은 이 정적우주론을 수식으로 유도해 봅니다.

우선 아인시타인은 우주가 정적이고 등방적이라는 가정하에 우주의 선요소를 다음 과 같이 가정합니다.

그리고 우주를 유한하다고 보았으므로 우주는 반경 a를 가진 4차원의 시간구의 공간이 되어야겠죠. 그러면....그렇다면

이렇게 표시할 수 있으니까...........다시 몇가지 계산과정을 거쳐


결국 우주에 대한 선요소는 위와 같은 식이 나와요.

여기서 중요한 것이 있는데 a가 바로 우주반경인데요

이 우주반경a를 상수로 채택했다는 거예요.(밑줄쫙!)


이거 매우 중요한데 이게 바로 정적우주론과 팽창우주론의 가장 큰 수식적 차이가 되는 거예요.

(이후 팽창우주론 즉 현대 우주론에서는 상수a가 아니라 시간의 함수인 a(t)가 쓰여요)

이렇게 a를 상수로 놓음으로서 어떤 결과가 나오는지 보게 될거예요

자! 이제 윗 식을 아인시타인의 중력장방정식에 대입만 하면 되요.

자~ 중력장 방정식은 아래와 같았죠

여기에 대입하려면, 우선 리찌텐서를 구해야 하는데계산에 필요한 기본 값을들 구해야겠죠. 구하는 순서는 이래요

그래서 메트릭텐서 gμν의 값을 구해요

그 다음 크리스토펠 값을 이 메트릭텐서값을 통해 구해놓고

그걸로 리찌텐서 Rμν 값을 구해요.(계산과정이 워낙 복잡해 결과만 보여줄께요)

Rtt =0,

Rrr=2/(1-r^2),

Rθθ=2r^2,

Rφφ=2r^2sin^2θ

가 나와요. 그리고 또 이 값을 이용해 리찌스칼라를 구해요~또 이걸로 이제 리찌(곡률)스칼라를 구해요.

R=2/a^2+2/a^2+2/a^2=6/a^2

다 구했으니 이것을 중력장방정식의 좌변에 대입하면...

좌변은 됐고 이제 우변의 에너지-스트레스텐서의 값을 구해보죠..

이것은 티끌에 대한 것으로 가정했으니 비교적 간단하게 구해짐.

자~! 좌우변을 다 구했으니 중력장방정식에 대입해보자구요...그러면...


헐~! 이것은 해가 불가능하지요...풀 수가 없어요

즉, 이 중력장 방정식으로는 등방적이고 균질하며 회전하지않는 우주는 불가능하다는 결론이죠!

여기서 아인시타인의 고민은 깊어집니다,,,

그런데 잔머리를 막 굴려서 묘안을 떠올리죠~ ^^

자신이 찾아낸 중력장방정식에 우주상수 λ를 첨가해 본 겁니다. 이렇게....

뚜둥~! 이게 아인시타인의 중력장방정식 최종식이죠

그러면 이게 맞는지 한번 검토해봐야죠...

다시 위의 복잡한 계산과정을 거쳐 봅니다.,,.,그러면..

오홋~! 이 두 식은 연립방정식으로 풀수있죠..풀어보면...

가 나옵니다! 짝짝짝!!!! ^^

우주반경과 우주밀도에 관한 제법 멋진 식이 구해졌네요.,..

이 식을 보면 우주반경 a가 1/√ρ 에 비례하죠

즉, 밀도가 높으면 우주반경 a는 작아진다는 것....

이것은 아인시타인의 중력장 방정식과 우주원리에도 들어맞죠!

그래서 아인시타인은 좋아라 했습니다.,..

자신의 중력장방정식에도 맞고 정적우주론에도 들어맞으니까요

그....러....나...

이 해법과 주장은 얼마못가 바로 깨집니다....--;

허블이 우주팽창을 발견하고 특히 이 식을 발표한지 몇달도 안되서

드래곤볼 베지터가 아닌 드 지터가 등장해 물질이 없고 운동상태만 있는 우주가 기능함을 보여줘거든요...바로 아인시타인의 중력장방정식으로 구했기 때문이죠~!

일명 드 지터의 텅빈 우주론!! 헐~

이건 다음 시간에~~~ I'll be back~!


​ 강의가 너무 매력적이예요~ *^^*



덧글

  • RNA 2022/08/24 20:22 # 삭제 답글

    아인슈타인의 유한 우주론은 에드윈 허블이 적색편이를 관측하면서, 증발한 이론입니다만
  • 철심장 2022/09/13 18:37 #

    그래서? 강의 1편 안읽어봤남? 그렇다고 설명해 봤는데...그런데 정적우주론을 수학적으로 유도할 줄 알아야 다른 우주론식을 유도할 수가 있지.....뭔 판인지 모르는가베~ ^^
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